\chapter{布鲁克·泰勒(1713)弦振动方程的数学推导}
		\begin{abstract}
		本文重现了布鲁克·泰勒在1713年对弦振动问题的开创性数学推导。通过分析弹性弦的微小位移，泰勒首次建立了描述弦振动的一维波动方程，为数学物理方程的发展奠定了基础。本文详细推导了泰勒的原始论证过程，并讨论了其历史意义与现代解释。	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1713年，英国数学家布鲁克·泰勒(Brook Taylor, 1685-1731)在《哲学汇刊》上发表了关于振动弦的运动规律的研究\cite{taylor1713}。这是历史上首次用微分方程描述波动现象的数学尝试，比达朗贝尔(1747)和欧拉(1750)的工作早了三十余年。
	
	\section{泰勒的物理模型}
	泰勒考虑了一条均匀弹性弦，满足以下假设：
	\begin{itemize}
		\item 弦在平衡位置做微小横振动
		\item 张力$T$沿弦保持恒定
		\item 位移$y(x,t)$远小于弦长$L$
		\item 忽略重力和其他外力作用
	\end{itemize}
	
	\section{数学推导}
	设弦的线密度为$\rho$，取弦的微元$dx$分析受力：
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.4\textwidth]{string_element}
		\caption{弦微元受力分析图}
	\end{figure}
	
	根据牛顿第二定律，在垂直方向有：
	\begin{equation}
		T\sin\theta(x+dx) - T\sin\theta(x) = \rho dx \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
	\end{equation}
	
	对于微小振动，$\sin\theta \approx \tan\theta = \frac{\partial y}{\partial x}$，因此：
	
	\begin{equation}
		T\left[\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x+dx} - \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_x\right] = \rho dx \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
	\end{equation}
	
	展开泰勒级数并保留一阶项：
	
	\begin{equation}
		T\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}dx = \rho dx \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
	\end{equation}
	
	得到经典的一维波动方程：
	
	\begin{equation}
		\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
	\end{equation}
	
	其中波速$c = \sqrt{T/\rho}$。
	
	\section{泰勒的解}
	泰勒注意到方程的解具有周期性，并给出了基频表达式：
	
	\begin{equation}
		f_1 = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\rho}}
	\end{equation}
	
	这与现代结果完全一致。
	
	\section{历史意义}
	泰勒的工作具有重要的历史地位：
	\begin{itemize}
		\item 首次将偏微分方程应用于连续介质力学
		\item 为后来的达朗贝尔、欧拉和伯努利等人的研究开辟了道路
		\item 建立了音乐声学的数学基础
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	泰勒1713年的推导标志着数学物理方程发展的关键转折点。尽管当时未引起足够重视，但这项开创性工作为18世纪波动理论的蓬勃发展奠定了基础。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{taylor1713} 
		Taylor, B. (1713). \emph{De motu nervi tensi}. Philosophical Transactions of the Royal Society, 28, 26-32.
	\end{thebibliography}
	